[선형 대수] Linear Equation 1 ( field )

생각보다 논문을 읽다보면

수학에 관한 내용이 많은데

해당 내용에 기초가 되는 선형대수를 정리하고자합니다.

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Linear algebra 2nd Edition by Hoffman and Kunz Prentice Hall

의 내용을 정리합니다.

Linear Equations - Fields

addition과 multilication의 properties를 먼저 말합니다. F는 complex numbers의 set이나 real number의 set입니다.

 

1. Addition은 commutative 합니다.    F의 모든 x와 y에 대해,  - x + y = y + x 입니다.

 

2. Addition은 associative 합니다. 

    F의 모든 x, y, z에 대해, x + ( y + z ) = ( x + y ) + z 입니다.

 

3.  F에는 unique element 0 이 있습니다.

    F의 모든 x에 대해, x + 0 = x 를 만족합니다.

 

4. F의 각 x에 대해, -x 가 존재합니다.

    F의 모든 x에 대해, x + (-x) = 0 을 만족합니다.

 

5. Multiplication은 commutative합니다.

    F의 모든 x, y에 대해, xy = yx 입니다.

 

6. Multiplication은 associative합니다.

    F의 모든 x, y, z에 대해, x(yz) = (xy)z 입니다.

 

7. unique non-zero element 1이 있습니다.

    F의 모든 x 에 대해, x1 = x 입니다.

 

8. F의 non-zero x에 대해 x^-1( 1/x ) 이 존재합니다.

    F의 모든 x에 대해, xx^-1 = 1을 만족합니다.

 

9. Multiplication은 adiition에 대해 distribute합니다.

    F의 모든 x, y, z에 대해, x( y + z ) = xy + xz 입니다.

 

objects x, y, z, ... 의 set F와 F에 대해 2개의 operations를 가집니다. addtion과 multiplication이죠. 이 두 operations의 1- 9 까지의 조건을 만족합니다. 이 때 두 개의 operation을 가진 set F를 field라고 부릅니다. field는 rough하게 object에 대해 some operations를 가지는 set입니다. 책에서 말하는 number는 어떤 field에 속한 element입니다. 그리고 number 보다 scalar 라는 표현을 쓴다고 합니다. 여기서 field C의 subfield는 complex numbers의 set F입니다. 0 과 1을 가지고 있고 multiplication과 addition operation을 가지며 위의 rule을 따르죠.

 

ex 1. positive integers( 1, 2, 3, ... ) : subfield가 아닙니다.

이유 1. 0은 positive integer가 아니죠.

이유 2. -n은 positive integer가 아니죠.

이유 3. 1/n은 positive integer가 아닙니다.

 

ex 2. set of integer ( ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ) : subfield가 아닙니다.

이유 1. 1,-1을 제외하고 1/n은 integer 가 아닙니다.

 

ex 3. rational number ( p/q,  q는 0이 아님 ) / : subfield 입니다.

 

앞으로 나오는 field는 complex numbers의 subfield 입니다. 예외로 직접 general한 field라고 말하는 경우를 제외하고는 말이죠. 

 

이 글은 짧게 짧게 가겠습니다. 한 글에 하나의 개념만을 정리합니다.