[선형대수] Systems of Linear Equation

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Systems of Linear Equations

F를 field라고 가정하면, 아래의 조건을 만족하는 n개의 scalar x1, x2, ... , xn 를 찾는 문제를 고려해봅시다.

여기서 y1, ..., ym은 F의 주어진 element입니다. 위의 1-1 을 n개의 unknowns에 대한 m개의 linear equation의 system이라고 부릅니다.  여기서 (x1, ..., xn), 각 equation을 만족하는 n-tuple을 system의 solution이라고 부릅니다. 만약, y1 = y2 = ... = ym = 0이라면, 이 system은 homogeneous 하다고 말합니다.

 

이런 equation에서 solution을 찾는 가장 기초적은 technique은 technique of elimination 인데요. 이를 homogeneous system에 대해 예를 들어봅시다. 아래의 식이주어졌다고 해보죠.

2 번째 식에 -2를 모두 곱하고 두 식을 더하면 아래의 식을 얻을 수 있죠,

그리고 다시 돌아가 첫 번째 식에 3을 곱하고 두번째 식과 더하면

얻을수 있습니다. 결과로 나온 두 개의 식을 정리하면 x1 = x2 = -x3 를 얻게 되죠. 즉 솔루션은 ( -a, -a, a ) or ( a, a, -a ) 이 되겠죠.

  unknowns를 eliminating함으로써 이런 system의 solutions을 찾을 수 있죠. 즉, scalar를 equation에 multiplying하고 그런 다음 xj 가 존재하지 않는 equation을 만들기 위해 해당 식들을 더하는 방식이죠. 이를 일반화해서 표현해 보죠.

  general system 1-1에 대해, m 개의 scalars c1, ... , cm을 선택하고 jth equation에 cj를 multiply 한 뒤 더하면 아래의 식을 얻을 수 있죠.

이런 equation을 1-1에 대한 equations의 linear combination 이라고 부릅니다. 분명하게도, 1-1 equations의 entire system의 any solution 은 이 새로운 euqtion의 solution일 겁니다. k개의 equation 각각 1-1에 대한 equations의 linear combination인 또 다른 linear equation의 system을 가지고 있고 그 system이 아래와 같다면

1-1의 모든 solutions은 이 새로운 system의 solution이죠. 물론, 1-2의 solution은 1-1의 solution이 아닐 수도 있습니다. 이런 상황은 original system에 대한 각 equation이 new system에 대한 equations의 linear combination이라면 일어나지 않는 일입니다. linear equations의 두 systems를 equivalent 하다고 하는데, 조건은 each system에 대해 각 eqaution이 다른 system에서 equations의 linear combination 이어야 하죠. 이를 정리 하면 첫 번재 Theorem이 나옵니다.

 

네, 이번 글은 Theorem 1을 도출해 내기 위한 글이었어요. 그럼 다음 글에서 뵐게요.